貝氏定理

貝氏定理提供在不確定下根據證據調整原有信念和判斷，係以18世紀英國數學家托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）的名字命名，其公式如次：

\[ P(A|B) = \frac{[P(B|A) X P(A)]}{P(B)} \]

• P(A|B)：稱為「後驗機率」，表示在證據 B 已發生下，發生目標事件 A 之機率。

• P(A)：稱為「先驗機率」，表示主觀預設目標事件 A 之機率。

• P(B|A)：稱為「概似度」（Likelihood），表示在事件A已經發生的條件下，事件B發生的機率。它衡量了事件A對事件B的解釋能力。

• P(B)：稱為「證據」，它可以被展開為 P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A)，其中 ¬A 表示 A 不發生的事件。

貝氏定理的核心概念在於「更新」機率。它利用新觀測證據 B，來修正我們對假設事件 A 發生的估計（事前機率），從而得到更精確的「事後機率」。

1 條件機率推導貝氏定理

\[ P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)} \] 證明： \[ \begin{aligned} P(A∩B) &= \frac{P(B∩A)}{1} X \frac{P(A)}{P(A)} \\ &= \frac{P(B∩A)}{P(A)} X \frac{P(A)}{1} \\ &= P(B|A)P(A) \\ P(A|B) &= \frac{P(A∩B)}{P(B)} \\ &= \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \\ &= \frac{P(A)}{P(B)}P(B|A) \end{aligned} \]

貝氏定理的應用

貝氏定理在許多領域都有廣泛應用，包括： * 醫療診斷：計算在檢測結果為陽性的情況下，患者真正患有某種疾病的機率。例如，考慮到檢測的偽陽性率和疾病的盛行率，即使檢測結果為陽性，實際患病的機率可能比直觀感覺低很多。 * 垃圾郵件過濾：判斷一封電子郵件是否為垃圾郵件。 * 風險評估：在金融領域，可以用來評估或重新評估借款人的貸款風險。 * 科學研究與統計推斷：在貝氏統計推斷中，用於根據觀測數據更新對模型參數的信念。 * 日常生活決策：幫助人們根據新的現象和資訊，結合過往經驗，修正最初的想法，做出更合理的決策。例如，根據天氣變陰的情況，修正今天會下雨的機率。