貝氏定理

貝氏定理提供在不確定下根據證據調整原有信念和判斷，係以18世紀英國數學家托馬斯·貝葉斯（Thomas Bayes）的名字命名，其公式如次：

\[ P(H|E) = P(H) \times \frac{[P(E|H)]}{P(E)} \]

• P(H) 稱為先驗機率，係主觀設算 H 之機率。
• P(H|T) 稱為後驗機率，係依據測驗結果 T 修正 H 之機率。
• \(\frac{[P(T|H)]}{P(T)}\) 係測驗結果 T 出現 H 之機率。

A流快篩經藥廠試驗發現整體快篩陽之機率為 20%，患者快篩陽機率為 80%，衛生署統計A流患病率為 10%，則如快篩陽時，患病率會從 10% 增加至 \(10\% \times \frac{80\%}{20\%} = 40\%\) 。

1 條件機率推導貝氏定理

\[ P(A|B) = \frac{P(A∩B)}{P(B)} \] 證明： \[ \begin{aligned} P(A∩B) &= \frac{P(B∩A)}{1} X \frac{P(A)}{P(A)} \\ &= \frac{P(B∩A)}{P(A)} X \frac{P(A)}{1} \\ &= P(B|A)P(A) \\ P(A|B) &= \frac{P(A∩B)}{P(B)} \\ &= \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \\ &= \frac{P(A)}{P(B)}P(B|A) \end{aligned} \]

貝氏定理的應用

貝氏定理在許多領域都有廣泛應用，包括： * 醫療診斷：計算在檢測結果為陽性的情況下，患者真正患有某種疾病的機率。例如，考慮到檢測的偽陽性率和疾病的盛行率，即使檢測結果為陽性，實際患病的機率可能比直觀感覺低很多。 * 垃圾郵件過濾：判斷一封電子郵件是否為垃圾郵件。 * 風險評估：在金融領域，可以用來評估或重新評估借款人的貸款風險。 * 科學研究與統計推斷：在貝氏統計推斷中，用於根據觀測數據更新對模型參數的信念。 * 日常生活決策：幫助人們根據新的現象和資訊，結合過往經驗，修正最初的想法，做出更合理的決策。例如，根據天氣變陰的情況，修正今天會下雨的機率。