九章

1 方田

今有田廣十五步，從十六步。問為田幾何？答曰：一畝。

• 積步 = 15 X 16 = 240
• 畝數 = 240 ÷ 240 = 1

又有田廣十二步，從十四步。問為田幾何？答曰：一百六十八步。

• 積步 = 15 X 16 = 168

方田術曰：廣從步數相乘得積步。以畝法二百四十步除之，即畝數。百畝為一頃。

• 方田係矩形面積算法及不同單位面積換算法，行政管理實用。

今有田廣一里，從一里。問為田幾何？

答曰：三頃七十五畝。

又有田廣二里，從三里。問為田幾何？

答曰：二十二頃五十畝。

里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數。

今有十八分之十二。問約之得幾何？答曰：三分之二。

\[ \begin{aligned} &\frac{12}{18} = \frac{6}{9} \text{半之}\\ &9 - 6 = 3 \text{以少減多}\\ &6 - 3 = 3 \text{此即等數} \\ &\frac{6÷3}{9÷3}=\frac{2}{3} \end{aligned} \]

又有九十一分之四十九。問約之得幾何？答曰：十三分之七。

約分術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之。

• 即輾轉相除法。

今有三分之一，五分之二。問合之得幾何？

答曰：十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五。問合之得幾何？

答曰：得一、六十三分之五十。

又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問合之得幾何？

答曰：得二、六十分之四十三。

合分術曰：母互乘子，并以為實，母相乘為法，實如法而一。不滿法者，以法命之。其母同者，直相從之。

• 即通分法。

今有九分之八，減其五分之一。問餘幾何？

答曰：四十五分之三十一。

又有四分之三，減其三分之一。問餘幾何？

答曰：十二分之五。

減分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一。

• 即通分法。

今有八分之五，二十五分之十六。問孰多？多幾何？

答曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

又有九分之八，七分之六。問孰多？多幾何？

答曰：九分之八多，多六十三分之二。

又有二十一分之八，五十分之十七。問孰多？幾何？

答曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。

課分術曰：母互乘子，以少減多，餘為實，母相乘為法，實如法而一，即相多也。

今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？

答曰：減四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平於十二分之七。

又有二分之一，三分之二，四分之三。問減多益少，各幾何而平？

答曰：減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三。

平分術曰：母互乘子，副并為平實，母相乘為法。以列數乘未并者各自為列實。亦以列數乘法，以平實減列實，餘，約之為所減。并所減以益於少，以法命平實，各得其平。

今有七人，分八錢三分錢之一。問人得幾何？

答曰：人得一錢、二十一分錢之四。

又有三人，三分人之一，分六錢三分錢之一，四分錢之三。問人得幾何？

答曰：人得二錢、八分錢之一。

經分術曰：以人數為法，錢數為實，實如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。

今有田廣七分步之四，從五分步之三。問為田幾何？

答曰：三十五分步之十二。

又有田廣九分步之七，從十一分步之九。問為田幾何？

答曰：十一分步之七。

又有田廣五分步之四，從九分步之五，問為田幾何？

答曰：九分步之四。

乘分術曰：母相乘為法，子相乘為實，實如法而一。

今有田廣三步、三分步之一，從五步、五分步之二。問為田幾何？

答曰：十八步。

又有田廣七步、四分步之三，從十五步、九分步之五。問為田幾何？

答曰：一百二十步、九分步之五。

又有田廣十八步、七分步之五，從二十三步、十一分步之六。問為田幾何？

答曰：一畝二百步、十一分步之七。

大廣田術曰：分母各乘其全，分子從之，相乘為實。分母相乘為法。實如法而一。

今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為田幾何？

答曰：一百二十六步。

又有圭田廣五步、二分步之一，從八步、三分步之二。問為田幾何？

答曰：二十三步、六分步之五。

術曰：半廣以乘正從。

今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問為田幾何？

答曰：九畝一百四十四步。

又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問為田幾何？

答曰：二十三畝七十步。

術曰：并兩邪而半之，以乘正從若廣。又可半正從若廣，以乘并，畝法而一。

今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步。問為田幾何？

答曰：一畝一百三十五步。

又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步。問為田幾何？

答曰：四十六畝二百三十二步半。

術曰：并踵舌而半之，以乘正從。畝法而一。

今有圓田，周三十步，徑十步。問為田幾何？

答曰：七十五步。

又有圓田，周一百八十一步，徑六十步、三分步之一。問為田幾何？

答曰：十一畝九十步、十二分步之一。

術曰：半周半徑相乘得積步。

• 圓面積 = 周(2π X r) ÷ 2 X 半徑(r) = 半周(π X r) X r

又術曰：周徑相乘，四而一。

又術曰：徑自相乘，三之，四而一。

又術曰：周自相乘，十二而一。

今有宛田，下周三十步，徑十六步。問為田幾何？

答曰：一百二十步。

又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問為田幾何？

答曰：五畝六十二步、四分步之一。

術曰：以徑乘周，四而一。

今有弧田，弦三十步，矢十五步。問為田幾何？

答曰：一畝九十七步半。

又有弧田，弦七十八步、二分步之一，矢十三步、九分步之七。問為田幾何？

答曰：二畝一百五十五步、八十一分步之五十六。

術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

今有環田，中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問為田幾何？答曰：二畝五十五步。

又有環田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，徑十二步、三分步之二。問為田幾何？

答曰：四畝一百五十六步、四分步之一。

術曰：并中外周而半之，以徑乘之為積步。

密率術曰：置中外周步數，分母、子各居其下。母互乘子，通全步，內分子。以中周減外周，餘半之，以益中周。徑亦通分內子，以乘周為實。分母相乘為法，除之為積步，餘積步之分。以畝法除之，即畝數也。

2 方程

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？

答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。

方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗，於右方。中、左禾列如右方。

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 26 & 34 & 39 \end{bmatrix} \]

以右行上禾遍乘中行

\[ \begin{bmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 2 & 9 & 2 \\ 3 & 3 & 1 \\ 26 & 102 & 39 \end{bmatrix} \]

而以直除。

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 26 & 24 & 39 \end{bmatrix} \]

又乘其次，

\[ \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 6 & 5 & 2 \\ 9 & 1 & 1 \\ 78 & 24 & 39 \end{bmatrix} \]

亦以直除。

\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 4 & 5 & 2 \\ 8 & 1 & 1 \\ 39 & 24 & 39 \end{bmatrix} \]

然以中行中禾不盡者遍乘左行

\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 20 & 5 & 2 \\ 40 & 1 & 1 \\ 195 & 24 & 39 \end{bmatrix} \]

而以直除。

\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 36 & 1 & 1 \\ 99 & 24 & 39 \end{bmatrix} \]

左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。

\[ \frac{99}{36} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} \]

求中禾，以法乘中行下實，

\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 4 & 4 & 1 \\ 11 & 96 & 39 \end{bmatrix} \]

而除下禾之實。

\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 20 & 2 \\ 4 & 0 & 1 \\ 11 & 85 & 39 \end{bmatrix} \]

餘如中禾秉數而一，即中禾之實。

\[ \frac{85}{20} = \frac{17}{4} = 4\frac{1}{4} \]

求上禾亦以法乘右行下實，

\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 8 \\ 4 & 0 & 4 \\ 11 & 17 & 156 \end{bmatrix} \]

而除下禾、中禾之實。

\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 12 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \\ 11 & 17 & 111 \end{bmatrix} \]

餘如上禾秉數而一，即上禾之實。

\[ \frac{111}{12} = \frac{37}{4} \]

實皆如法，各得一斗。

\[ \begin{aligned} \frac{11}{4} &= 2\frac{3}{4} \\ \frac{17}{4} &= 4\frac{1}{4} \\ \frac{37}{4} &= 9\frac{1}{4} \end{aligned} \]

今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾二秉，而實一十斗。下禾八秉，益實一斗與上禾二秉，而實一十斗。問上、下禾實一秉各幾何？

答曰：上禾一秉實一斗、五十二分斗之一十八，下禾一秉實五十二分斗之四十一。

術曰：如方程。損之曰益，益之曰損。損實一斗者，其實過一十斗也。益實一斗者，其實不滿一十斗也。

今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實皆不滿斗。上取中，中取下，下取上各一秉而實滿斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？

答曰：上禾一秉實二十五分斗之九，中禾一秉實二十五分斗之七，下禾一秉實二十五分斗之四。

術曰：如方程，各置所取，以正負術入之。

正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。

今有上禾五秉，損實一斗一升，當下禾七秉。上禾七秉，損實二斗五升，當下禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？

答曰：上禾一秉五升，下禾一秉二升。

術曰：如方程，置上禾五秉正，下禾七秉負，損實一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉負，損實二斗五升正。以正負術入之。

今有上禾六秉，損實一斗八升，當下禾一十秉。下禾十五秉，損實五升，當上禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？

答曰：上禾一秉實八升，下禾一秉實三升。

術曰：如方程，置上禾六秉正，下禾一十秉負，損實一斗八升正。次置上禾五秉負，下禾一十五秉正，損實五升正。以正負術人之。

今有上禾三秉，益實六斗，當下禾十秉。下禾五秉，益實一斗，當上禾二秉。問上、下禾實一秉各幾何？

答曰：上禾一秉實八斗，下禾一秉實三斗。

術曰：如方程，置上禾三秉正，下禾一十秉負，益實六斗負。次置上禾二秉負，下禾五秉正，益實一斗負。以正負術入之。 7 今有牛五、羊二，直金十兩。牛二、羊五直金八兩。問牛羊各直金幾何？

答曰：牛一，直金一兩、二十一分兩之一十三，羊一，直金二十一分兩之二十。

術曰：如方程。

今有賣牛二、羊五，以買十三豕，有餘錢一千。賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足。賣羊六、豕八，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何？

答曰：牛價一千二百，羊價五百，豕價三百。

術曰：如方程，置牛二、羊五正，豕一十三負，餘錢數正；次牛三正，羊九負，豕三正；次牛五負，羊六正，豕八正，不足錢負。以正負術入之。

今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕。一雀一燕交而處，衡適平。并燕、雀重一斤。問燕、雀一枚各重幾何？

答曰：雀重一兩、一十九分兩之十三，燕重一兩、一十九分兩之五。

術曰：如方程，交易質之，各重八兩。

今有甲乙二人持錢不知其數。甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十。問甲、乙持錢各幾何？

答曰：甲持三十七錢半，乙持二十五錢。

術曰：如方程，損益之。 11 今有二馬、一牛價過一萬，如半馬之價。一馬、二牛價不滿一萬，如半牛之價。問牛、馬價各幾何？

答曰：馬價五千四百五十四錢、一十一分錢之六，牛價一千八百一十八錢、一十一分錢之二。

術曰：如方程，損益之。 12 今有武馬一匹，中馬二匹，下馬三匹，皆載四十石至阪，皆不能上。武馬借中馬一匹，中馬借下馬一匹，下馬借武馬一匹，乃皆上。問武、中、下馬一匹各力引幾何？

答曰：武馬一匹力引二十二石、七分石之六，中馬一匹力引十七石、七分石之一，下馬一匹力引五石、七分石之五。

術曰：如方程各置所借，以正負術入之。

今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆。如各得所不足一綆，皆逮。問井深、綆長各幾何？

答曰：井深七丈二尺一寸。甲綆長二丈六尺五寸，乙綆長一丈九尺一寸，丙綆長一丈四尺八寸，丁綆長一丈二尺九寸，戊綆長七尺六寸。

術曰：如方程，以正負術入之。

今有白禾二步、青禾三步、黃禾四步、黑禾五步，實各不滿斗。白取青、黃，青取黃、黑，黃取黑、白，黑取白、青，各一步，而實滿斗。問白、青、黃、黑禾實一步各幾何？

答曰：白禾一步實一百一十一分斗之三十三，青禾一步實一百一十一分斗之二十八，黃禾一步實一百一十一分斗之一十七，黑禾一步實一百一十一分斗之一十。

術曰：如方程，各置所取，以正負術入之。

今有甲禾二秉、乙禾三秉、丙禾四秉，重皆過於石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。問甲、乙、丙禾一秉各重幾何？

答曰：甲禾一秉重二十三分石之十七，乙禾一秉重二十三分石之十一，丙禾一秉重二十三分石之十。

術曰：如方程，置重過於石之物為負。以正負術入之。

今有令一人、吏五人、從者一十人，食雞一十；令一十人、吏一人、從者五人，食雞八；令五人、吏一十人、從者一人，食雞六。問令、吏、從者食雞各幾何？

答曰：令一人食一百二十二分雞之四十五，吏一人食一百二十二分雞之四十一，從者一人食一百二十二分雞之九十七。

術曰：如方程，以正負術入之。

今有五羊、四犬、三雞、二兔，直錢一千四百九十六；四羊、二犬、六雞、三兔直錢一千一百七十五；三羊、一犬、七雞、五兔，直錢九百五十八；二羊、三犬、五雞、一兔，直錢八百六十一。問羊、犬、雞、兔價各幾何？

答曰：羊價一百七十七，犬價一百二十一，雞價二十三，兔價二十九。

術曰：如方程，以正負術入之。

今有麻九斗、麥七斗、菽三斗、答二斗、黍五斗，直錢一百四十；麻七斗、麥六斗、菽四斗、答五斗、黍三斗，直錢一百二十八；麻三斗、麥五斗、菽七斗、答六斗、黍四斗，直錢一百一十六；麻二斗、麥五斗、菽三斗、答九斗、黍四斗，直錢一百一十二；麻一斗、麥三斗、菽二斗、答八斗、黍五斗，直錢九十五。問一斗直幾何？

答曰：麻一斗七錢，麥一斗四錢，菽一斗三錢，答一斗五錢，黍一斗六錢。

術曰：如方程，以正負術入之。