傅利葉轉換
1 三角
2 任意函數可展開為三角級數
傅利葉提出任意函數可展開為三角級數，傅利葉轉換係將函數轉換成三角級數之係數函數，稱為頻譜。
2.0.1 三角函數系之正交性
三角函數系即\(1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x,…,\cos nx, \sin nx,…\)集合，其成員即三角函數有以下性質：
\[ \begin{aligned} &1. \int_{-π}^{π}\sin kx \cos nx dx = 0 \\ &2. \int_{-π}^{π}\sin kx \sin nx dx = \begin{cases} 0, k≠n \\ π, k=n≠0 \end{cases}\\ &3. \int_{-π}^{π}\cos kx \cos nx dx = \begin{cases} 0, k≠n \\ π, k=n≠0 \end{cases} \end{aligned} \]
證明： \[ \begin{aligned} 1. \int_{-π}^{π}\sin kx \cos nx dx &= \frac{1}{2} \int_{-π}^{π}[\sin (k+n)x + \sin (k-n)x] dx {代入積化和差公式}\\ &= -\frac{1}{2} [\frac{\cos (k+n)x}{k+n} + \frac{\cos (k-n)x}{k-n}]_{-π}^π {代入積分公式}\\ &= 0 \end{aligned} \]
2.0.2 三角級數
三角級數為任意數目之三角函數之線性組合。
3 向量內積
二向量之內積係某一向量於另一向量上之投影長度與該向量長度之積，表達二向量間方向重疊程度，向量 a 及 b 之內積記為：\(\vec{a}\vec{b}=‖\vec{a}‖ ‖\vec{b}‖ \cosθ\)。