估計有限母體比例所需樣本數

有限母體樣本定理甲：自元素個數為N之有限母體，如要求信賴水準為c，樣本比例$\hat{p}$與母體比例p誤差不超過e，則至少需抽取n=$\frac{(Z_c)^2\frac{p(1-p)}{e^2}N}{(Z_c)^2\frac{p(1-p)}{e^2}+N-1}$個樣本。

證明：

1. 中央極限定理.
   
2. q=1-p.
   
3. $e=Z_c\sqrt{\frac{pq}{n}}\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}.$
4. $e^2=(Z_c)^2\left(\frac{pq}{n}\right)\left(\frac{N-n}{N-1}\right).$
5. $n=\left(Z_c\right)^2\left(\frac{pq}{e^2}\right)\left(\frac{N-n}{N-1}\right).$
6. $n_0=\left(Z_c\right)^2\frac{pq}{e^2}.$
7. $n=\frac{n_0\left(N-n\right)}{N-1}.$
8. $n(N-1)=n_0(N-n)=n_0N-n_0n.$
9. $n(N-1)+n_0n=n(n_0+N-1)=n_0N.$
10. $n=\frac{n_0N}{n_0+N-1}=\frac{(Z_c)^2\frac{pq}{e^2}N}{\left(Z_c\right)^2\frac{pq}{e^2}+N-1}.$
    

 有限母體樣本定理乙：自元素個數為N之有限母體，如要求信賴水準為c，樣本比例$\hat{p}$與母體比例p誤差不超過e，則抽取n=$\frac{(Z_c)^2\frac{0.25}{e^2}N}{(Z_c)^2\frac{0.25}{e^2}+N-1}$個樣本一定滿足。