證明的本質
漣光波動，六月夏夜的高雄愛河如一條即將躍起的鯉魚。
我牽著愛人的小手，緩步於河堤上。
「你愛我嗎」
她噘著紅潤的脣問我。
「愛啊！」
我毫不遲疑的回答她。
「我不相信，說個理由！」
她脣嘟得更圓了！
「世界如此之大，但我的眼裡只有妳！」
我依舊未思考太久。
「這句話我更不相信，證明給我看！」
她越來越像任性的小女孩。
我拿下眼鏡，靜靜的望著她。
一會，她好奇地問：
「怎麼了？」
我笑了笑，回答她：
「我近視 800 度，所以現在我只看得清楚妳一個人。」
她拿走我的眼鏡，俯身抱著我，把頭鑽進我的懷裡。
那晚，沒載眼鏡的我與她繞行了整個愛河。
我成功的完成一項證明。
不是數學考試的證明題，不是貸款時的財力證明，不是政客為其政策牛肉口無遮攔的背書。因為以上的證明我總是提不出來。
但那晚我的愛人相信我愛她。
我說服她了，所以我成功的完成一項證明。
但是如何說服愛人、選民、銀行行員這都不是本文的主題，因為那沒有一定的法則可尋。在本文，我們的對象為科學家，只要證明符合某些條件，便能夠讓科學家接受。
亞里斯多德曾寫出以下的三段式論證：
「人都會死」
「蘇格拉底是人」
「蘇格拉底會死」
它的名字來自於其論證形式可分為三段，第一段稱為「大前題」，第二段稱為「小前題」，第三段稱為「結論」。每段之間的關係滿足以下的條件：
大前題必須能「週延」的包含小前題。
這個論證的重要性在於，證明的有效性是根據論證的形式，而不是論證的脈絡。簡單的說，如果我們要判斷一個人是否所言屬實，並非看他的外表、平時為人或是妳跟他之間的情感關係，而是在於他說的話是不是符合三段式論證的形式。別看它只是普普通通的三段，卻可統治了歐洲近千年的證明程序，甚至有段時期，法庭要求所有證詞要能轉成這種形式，才能證明為真。再來，雖然三段式論證在現今看來是過於簡單的論證形式，但仍為許多工程或科學的論證基礎，如下述：
是否曾想過現今塑膠水桶的模型是如何設計的？回到塑膠工業發展早期，在某間力求上游的塑化公司研發部會議室裡，工程師正開會設計一種新的塑膠水桶，其目標是以最少的材料來製造出符合顧客需求的水桶。
李民生提出意見：
「球體是表面積最小，而容量最大的立體形狀，所以最省材料，我建議以球體設計為佳。」
但歐嘉偉說：
「但是球體其與平面的切面最小，所以不能固定，我認為是以正方體為佳。」
經過了一長串的討論後，工程部決定以球體為主，但其底部為平坦面，以節省材料且容器也能方便固定。
上面民生說了「球體是表面積最小，而容量最大的立體形狀」來論斷球體為最節省耗材的立體形狀。但嘉偉指出「球體與平面的切面最小，所以不能固定。」
妳發現了嗎？他們的論證過程中，主要的論證對象是「球體」或「正方體」，而非產品塑膠水桶，究竟這是怎麼一回事呢？首先來看看「球體」這個詞，明顯地是用來表示「表面積最小，而容量最大」的事物集合，當然也是表示「與平面切面最小」的事物集合。若是水桶其立體型為球體的話，便具有上面兩種特質，這些特質就可以用來推論設計是否滿足客戶的需求，重要的是，論證背後隱涵了下面的三段式論證。
「球體是表面積最小，而容量最大的立體形狀」–大前題，這是由幾何理論得來的論斷。
「本公司生產型號 p 的水桶是球體」–小前題，由工程師的目測論斷。
「本公司型號 p 的產品是耗材少，但容量最大的水桶」–結論，由三段式論證推得。
輕易的，妳便可測知上述的大前題「週延」的包含小前題，或可稱為大前題比小前題更「抽象化」。字面上看，「抽象」是抽出事物表象的特質。像是上述的「球體」便是粹取出「表面積最小，而容量最大」特質的抽象事物，這讓我們可用「球體」來針對這些特質論證，而推論結果則可用三段式論證推廣到每個具有「球體」特質的事物上，像是型號 p 的水桶。
但是如果大前題不夠「週延」，則論證的範圍會受限，像大前題若改為
「球體狀油槽具有表面積最小，而容量最大的特質」
雖然油槽具有工程師想要的特質，但是卻不能推廣到像是「球體狀水桶」上，因為水桶並不具備油槽的其它特質，所以水桶不屬於油槽這個範疇，所以我們無法由三段式論證推論出結論。
由上面的討論，我們發現三段式論證是根基於抽象的概念，而抽象化對論證有兩項好處：
一、讓我們在推論過程裡，可以集中焦點，過濾不必要的因素。
例如：推論過程中，使用「球體」可以讓我們的推論集中在球體的特質中，而排除考慮水桶的其它性質，像是材料、美觀之類。
二、推論的結果可以推展到在更廣的範疇。
例如：「球體」上的推論結果，可由三段式論證，推論到任何歸在「球體」這個範疇的事物上，像是水桶、油槽甚至太陽、星球上。
所以抽象化在建構科學理論中，扮演很重要的角色。在近代任何科學理論，更是奉抽象化為圭臬。在研究者不斷的提昇理論的抽象性時，先是發現任何數、量、形關係的描述都可以抽象成數學公式，其中最主要的基礎是由笛卡爾，一位不到中午不下床的晚起哲學家，所發明。
有錢的哲學家笛卡爾經常躺在床上，有時，他房裡會有幾隻蒼蠅闖入，當他看著蒼蠅飛來飛去，穿梭在一格一格的天花板時，給了他一個靈感，讓他發明了座標，用數字來描述蒼蠅停留的位置。這可真是個重大創舉，因為座標的發明使得幾何可以抽象成數學公式，並能以代數論證幾何來代替早期的作圖論證，這可大大擴張了數學家的推論能力及想像空間，因為尺規必須受限於畫布面積上，而代數只要後面多加幾個零，就可描述以往尺規無法畫出的大面積圖形，多加個小數點，就可描述以往尺規無法畫出的極小面積圖形，這項抽象化更促進了微積分的發明，試想若沒有幾何代數，我們要如何畫出無窮小，無法描述無窮小就更別提描述微分的操作。
將事物抽象成數學公式，在法國布爾巴基學派的代數學家手中發揮到極限，這個學派規定任何事物都要能用集合論語言描述，而每條定理都要嚴格使用一階邏輯從幾個公理中推導出來，才算完成證明。而且只有符合上述要求的數學論文，才夠格掛上布爾巴基這個虛擬筆名。
但這還不夠極端，因為在了數理語言學家眼中，任何事物都是一串文字，所謂證明，更抽象成在定義的字串集合中裡，從一串文字轉到另一段文字的程序。
當然妳會想問，為什麼任何事物都能抽象成一段文字？這可是由於人們都是用語言來描述事物，所以任何可以談論的事物，都能用文字來記錄和表示。當然也是存在語言無法描述的東西，像是老子所追求的真理，因為他說過：
「道可道，非常道。」
「名可名，非常名。」
他認為永遠不變的真理，是無法用口說的，也無法用文字描述，但這不在我們的討論範圍。我們討論可以用語言描述的事物，但是之後更會討論到一些可以描述，但無法證明的事物。
1667 年，
法國巴黎市，
萊布尼茲帶著邁因次大主教的期望，正竭力遊說法王路易十四進軍埃及，不攻德意志，當萊布尼茲鎮日思考如何使德意志避免掉太陽王的威脅時，時執世上學術牛耳之際的法國，給萊布尼茲帶來強烈的知識衝擊，讓他洽公之餘，開始思考下述的哲學問題。
一、是否存在能描述所有問題的語言？
二、是否存在一簡單的程序，其能判定所有用此語言描述的問題？
經過了一百年，康托發明了集合論，謂詞邏輯開始發展，公理化數學出現了。這使得第一個問題，在數學上算是已獲肯定。因為集合論加上謂詞邏輯幾乎可以表達所有的數學問題。現今稱得上數學教科書的幾乎是以此種語言書寫。如同英語成為國際通用語言，公理化數學也成為數學界的通用語言。
集合論加謂詞邏輯的表達力有多強呢？看看現今許多新應用數學的學派就知道了。
量子力學，描述次原子的行為，由馮紐伊曼統一公理化。
機率學，用來描述不確定的現象，這由俄羅斯天才柯莫格洛夫完成公理化。
除此之外，數學甚至可以描述股市波動、海岸線真實長度、核子爆炸的影響範圍甚至愛情等問題。
第二問題通稱為判定問題。反省判定問題的結果，推動了現代邏輯系統的發展。
那什麼是判定呢？
簡單的說判定就是辨別一段話的真假。上面我們提過在三段式論證中，判斷一句話的真假，就要看他能不能轉成三段式論證的格式，若可，則為真，反之為假。
而判定一段數學陳述的真假，就好比考試解證明題的過程，若能在推論規則下，把原公式轉換到目標公式，閱卷官就會給妳分數。妳試想解題時的妳是不是不停回想已知的定理，再使用推論法則，把式子不停衍生出更多的算式，再一一核對是否滿足題解。抽象上述的解題活動，讓我們可視數學證明為，從已定義的算式集合中，搜尋符合目標的算式。再抽絲剝繭後，更會發覺數學公式也是一串連接在一起的數學符號，使得證明更可視為在已定義的字串集合中，找尋目標字串的活動。
那怎麼列舉出已定義的字串集合呢？事實上通常有無窮多的字串，所以無法一一列出清單，但是我們可由推論法則判別一字串是否在已定義集合中。這是因為集合是由推論法則所定義出來的，一個推論法則就是把一個公式轉到另一個公式的函數。而任何一個已定義的字串必須要從基礎字串（在數學上稱為公理）經由推論法則衍生出來。像上面的三段式論證就是一種推論法則，原式就是大小前題，而結論就是前題所衍生的新字串，我們可再把衍生的新字串再當作新前題再衍生出更新的字串。這樣我們就能用公理加推論法則來描述一組公式集合或是文字集合。
本世紀初，哲學家塔斯基將證明的描述與描述對象作區分，例如「人都會死」就是描述人生命現象的一串文字，區分描述真實世界的文字及真實世界本身，則讓我們了解到證明的有效性是基於原描述字串和依推論法則衍生出的字串，在真實世界都為真。舉例而言，我們只要證明三段式論證的前題在真實世界為真，且其結論在真實世界一定為真的話，則三段式論證的推論法則是有效的，依現代語言可稱此推論法則是完備的，這也是公理化的根基。
但哥德爾在 1931 年提出一個反證，就是有名的不完備定理，打碎了公理化數學大廈的地基。直觀的我們可以這樣理解，描述可視為一種將描述字串對映到真實世界事物的函數，如以下的函數 D：
D:S->R (S 為字串，R 為真實世界)
哥德爾發現，某些推論法則會衍生出一些字串讓我們永遠無法在真實世界找到對映的事物，以函數而言，S->R 並非每個 S 值都是有定義。所以並非每條字串都可在真實世界找到對映的事物，這就稱為不完備。哥德爾證明當中用算術建立了類似說慌者誖論的公式：
據說，住在克里特的人說的每句話都是謊話，如果有一天妳遇到了一位克里特人，他說了：「我現在說的話是謊話。」請問他說的是實話，還是謊話？
妳可以輕易的看出上面的句子一定無法在真實世界中找到對應的事實。
哥德爾不完備定理的重要性在於，即使像是數學這麼嚴謹的語言，都能建構出這種句子，那麼若能滿足萊布尼茲第一個問題的語言，一定無法滿足其第二個問題，我們無法只經由操弄文字，就能看到全部的真理。
自從哥德爾這個突破的壯舉，數學家開始反思邏輯系統，造就了眾多邏輯推論模型的產生，最重要的算是圖靈的自動機了，1936 年圖靈發現可以用自動機來描述一串文字的集合。現在我們已了解推理不過是文字的操弄，當自動機可以描述並操弄文字時，便進入了自動機可以幫助人們推理的時代，這也促成了現代電腦的發明。從證明的追尋，我們發現文字的奧妙之處，作者我在字數限制下也有意猶未盡之感，但希望仍能給妳對證明有一個新的洞見。
我牽著愛人的小手，緩步於河堤上。
「你愛我嗎」
她噘著紅潤的脣問我。
「愛啊！」
我毫不遲疑的回答她。
「我不相信，說個理由！」
她脣嘟得更圓了！
「世界如此之大，但我的眼裡只有妳！」
我依舊未思考太久。
「這句話我更不相信，證明給我看！」
她越來越像任性的小女孩。
我拿下眼鏡，靜靜的望著她。
一會，她好奇地問：
「怎麼了？」
我笑了笑，回答她：
「我近視 800 度，所以現在我只看得清楚妳一個人。」
她拿走我的眼鏡，俯身抱著我，把頭鑽進我的懷裡。
那晚，沒載眼鏡的我與她繞行了整個愛河。
我成功的完成一項證明。
不是數學考試的證明題，不是貸款時的財力證明，不是政客為其政策牛肉口無遮攔的背書。因為以上的證明我總是提不出來。
但那晚我的愛人相信我愛她。
我說服她了，所以我成功的完成一項證明。
但是如何說服愛人、選民、銀行行員這都不是本文的主題，因為那沒有一定的法則可尋。在本文，我們的對象為科學家，只要證明符合某些條件，便能夠讓科學家接受。
亞里斯多德曾寫出以下的三段式論證：
「人都會死」
「蘇格拉底是人」
「蘇格拉底會死」
它的名字來自於其論證形式可分為三段，第一段稱為「大前題」，第二段稱為「小前題」，第三段稱為「結論」。每段之間的關係滿足以下的條件：
大前題必須能「週延」的包含小前題。
這個論證的重要性在於，證明的有效性是根據論證的形式，而不是論證的脈絡。簡單的說，如果我們要判斷一個人是否所言屬實，並非看他的外表、平時為人或是妳跟他之間的情感關係，而是在於他說的話是不是符合三段式論證的形式。別看它只是普普通通的三段，卻可統治了歐洲近千年的證明程序，甚至有段時期，法庭要求所有證詞要能轉成這種形式，才能證明為真。再來，雖然三段式論證在現今看來是過於簡單的論證形式，但仍為許多工程或科學的論證基礎，如下述：
是否曾想過現今塑膠水桶的模型是如何設計的？回到塑膠工業發展早期，在某間力求上游的塑化公司研發部會議室裡，工程師正開會設計一種新的塑膠水桶，其目標是以最少的材料來製造出符合顧客需求的水桶。
李民生提出意見：
「球體是表面積最小，而容量最大的立體形狀，所以最省材料，我建議以球體設計為佳。」
但歐嘉偉說：
「但是球體其與平面的切面最小，所以不能固定，我認為是以正方體為佳。」
經過了一長串的討論後，工程部決定以球體為主，但其底部為平坦面，以節省材料且容器也能方便固定。
上面民生說了「球體是表面積最小，而容量最大的立體形狀」來論斷球體為最節省耗材的立體形狀。但嘉偉指出「球體與平面的切面最小，所以不能固定。」
妳發現了嗎？他們的論證過程中，主要的論證對象是「球體」或「正方體」，而非產品塑膠水桶，究竟這是怎麼一回事呢？首先來看看「球體」這個詞，明顯地是用來表示「表面積最小，而容量最大」的事物集合，當然也是表示「與平面切面最小」的事物集合。若是水桶其立體型為球體的話，便具有上面兩種特質，這些特質就可以用來推論設計是否滿足客戶的需求，重要的是，論證背後隱涵了下面的三段式論證。
「球體是表面積最小，而容量最大的立體形狀」–大前題，這是由幾何理論得來的論斷。
「本公司生產型號 p 的水桶是球體」–小前題，由工程師的目測論斷。
「本公司型號 p 的產品是耗材少，但容量最大的水桶」–結論，由三段式論證推得。
輕易的，妳便可測知上述的大前題「週延」的包含小前題，或可稱為大前題比小前題更「抽象化」。字面上看，「抽象」是抽出事物表象的特質。像是上述的「球體」便是粹取出「表面積最小，而容量最大」特質的抽象事物，這讓我們可用「球體」來針對這些特質論證，而推論結果則可用三段式論證推廣到每個具有「球體」特質的事物上，像是型號 p 的水桶。
但是如果大前題不夠「週延」，則論證的範圍會受限，像大前題若改為
「球體狀油槽具有表面積最小，而容量最大的特質」
雖然油槽具有工程師想要的特質，但是卻不能推廣到像是「球體狀水桶」上，因為水桶並不具備油槽的其它特質，所以水桶不屬於油槽這個範疇，所以我們無法由三段式論證推論出結論。
由上面的討論，我們發現三段式論證是根基於抽象的概念，而抽象化對論證有兩項好處：
一、讓我們在推論過程裡，可以集中焦點，過濾不必要的因素。
例如：推論過程中，使用「球體」可以讓我們的推論集中在球體的特質中，而排除考慮水桶的其它性質，像是材料、美觀之類。
二、推論的結果可以推展到在更廣的範疇。
例如：「球體」上的推論結果，可由三段式論證，推論到任何歸在「球體」這個範疇的事物上，像是水桶、油槽甚至太陽、星球上。
所以抽象化在建構科學理論中，扮演很重要的角色。在近代任何科學理論，更是奉抽象化為圭臬。在研究者不斷的提昇理論的抽象性時，先是發現任何數、量、形關係的描述都可以抽象成數學公式，其中最主要的基礎是由笛卡爾，一位不到中午不下床的晚起哲學家，所發明。
有錢的哲學家笛卡爾經常躺在床上，有時，他房裡會有幾隻蒼蠅闖入，當他看著蒼蠅飛來飛去，穿梭在一格一格的天花板時，給了他一個靈感，讓他發明了座標，用數字來描述蒼蠅停留的位置。這可真是個重大創舉，因為座標的發明使得幾何可以抽象成數學公式，並能以代數論證幾何來代替早期的作圖論證，這可大大擴張了數學家的推論能力及想像空間，因為尺規必須受限於畫布面積上，而代數只要後面多加幾個零，就可描述以往尺規無法畫出的大面積圖形，多加個小數點，就可描述以往尺規無法畫出的極小面積圖形，這項抽象化更促進了微積分的發明，試想若沒有幾何代數，我們要如何畫出無窮小，無法描述無窮小就更別提描述微分的操作。
將事物抽象成數學公式，在法國布爾巴基學派的代數學家手中發揮到極限，這個學派規定任何事物都要能用集合論語言描述，而每條定理都要嚴格使用一階邏輯從幾個公理中推導出來，才算完成證明。而且只有符合上述要求的數學論文，才夠格掛上布爾巴基這個虛擬筆名。
但這還不夠極端，因為在了數理語言學家眼中，任何事物都是一串文字，所謂證明，更抽象成在定義的字串集合中裡，從一串文字轉到另一段文字的程序。
當然妳會想問，為什麼任何事物都能抽象成一段文字？這可是由於人們都是用語言來描述事物，所以任何可以談論的事物，都能用文字來記錄和表示。當然也是存在語言無法描述的東西，像是老子所追求的真理，因為他說過：
「道可道，非常道。」
「名可名，非常名。」
他認為永遠不變的真理，是無法用口說的，也無法用文字描述，但這不在我們的討論範圍。我們討論可以用語言描述的事物，但是之後更會討論到一些可以描述，但無法證明的事物。
1667 年，
法國巴黎市，
萊布尼茲帶著邁因次大主教的期望，正竭力遊說法王路易十四進軍埃及，不攻德意志，當萊布尼茲鎮日思考如何使德意志避免掉太陽王的威脅時，時執世上學術牛耳之際的法國，給萊布尼茲帶來強烈的知識衝擊，讓他洽公之餘，開始思考下述的哲學問題。
一、是否存在能描述所有問題的語言？
二、是否存在一簡單的程序，其能判定所有用此語言描述的問題？
經過了一百年，康托發明了集合論，謂詞邏輯開始發展，公理化數學出現了。這使得第一個問題，在數學上算是已獲肯定。因為集合論加上謂詞邏輯幾乎可以表達所有的數學問題。現今稱得上數學教科書的幾乎是以此種語言書寫。如同英語成為國際通用語言，公理化數學也成為數學界的通用語言。
集合論加謂詞邏輯的表達力有多強呢？看看現今許多新應用數學的學派就知道了。
量子力學，描述次原子的行為，由馮紐伊曼統一公理化。
機率學，用來描述不確定的現象，這由俄羅斯天才柯莫格洛夫完成公理化。
除此之外，數學甚至可以描述股市波動、海岸線真實長度、核子爆炸的影響範圍甚至愛情等問題。
第二問題通稱為判定問題。反省判定問題的結果，推動了現代邏輯系統的發展。
那什麼是判定呢？
簡單的說判定就是辨別一段話的真假。上面我們提過在三段式論證中，判斷一句話的真假，就要看他能不能轉成三段式論證的格式，若可，則為真，反之為假。
而判定一段數學陳述的真假，就好比考試解證明題的過程，若能在推論規則下，把原公式轉換到目標公式，閱卷官就會給妳分數。妳試想解題時的妳是不是不停回想已知的定理，再使用推論法則，把式子不停衍生出更多的算式，再一一核對是否滿足題解。抽象上述的解題活動，讓我們可視數學證明為，從已定義的算式集合中，搜尋符合目標的算式。再抽絲剝繭後，更會發覺數學公式也是一串連接在一起的數學符號，使得證明更可視為在已定義的字串集合中，找尋目標字串的活動。
那怎麼列舉出已定義的字串集合呢？事實上通常有無窮多的字串，所以無法一一列出清單，但是我們可由推論法則判別一字串是否在已定義集合中。這是因為集合是由推論法則所定義出來的，一個推論法則就是把一個公式轉到另一個公式的函數。而任何一個已定義的字串必須要從基礎字串（在數學上稱為公理）經由推論法則衍生出來。像上面的三段式論證就是一種推論法則，原式就是大小前題，而結論就是前題所衍生的新字串，我們可再把衍生的新字串再當作新前題再衍生出更新的字串。這樣我們就能用公理加推論法則來描述一組公式集合或是文字集合。
本世紀初，哲學家塔斯基將證明的描述與描述對象作區分，例如「人都會死」就是描述人生命現象的一串文字，區分描述真實世界的文字及真實世界本身，則讓我們了解到證明的有效性是基於原描述字串和依推論法則衍生出的字串，在真實世界都為真。舉例而言，我們只要證明三段式論證的前題在真實世界為真，且其結論在真實世界一定為真的話，則三段式論證的推論法則是有效的，依現代語言可稱此推論法則是完備的，這也是公理化的根基。
但哥德爾在 1931 年提出一個反證，就是有名的不完備定理，打碎了公理化數學大廈的地基。直觀的我們可以這樣理解，描述可視為一種將描述字串對映到真實世界事物的函數，如以下的函數 D：
D:S->R (S 為字串，R 為真實世界)
哥德爾發現，某些推論法則會衍生出一些字串讓我們永遠無法在真實世界找到對映的事物，以函數而言，S->R 並非每個 S 值都是有定義。所以並非每條字串都可在真實世界找到對映的事物，這就稱為不完備。哥德爾證明當中用算術建立了類似說慌者誖論的公式：
據說，住在克里特的人說的每句話都是謊話，如果有一天妳遇到了一位克里特人，他說了：「我現在說的話是謊話。」請問他說的是實話，還是謊話？
妳可以輕易的看出上面的句子一定無法在真實世界中找到對應的事實。
哥德爾不完備定理的重要性在於，即使像是數學這麼嚴謹的語言，都能建構出這種句子，那麼若能滿足萊布尼茲第一個問題的語言，一定無法滿足其第二個問題，我們無法只經由操弄文字，就能看到全部的真理。
自從哥德爾這個突破的壯舉，數學家開始反思邏輯系統，造就了眾多邏輯推論模型的產生，最重要的算是圖靈的自動機了，1936 年圖靈發現可以用自動機來描述一串文字的集合。現在我們已了解推理不過是文字的操弄，當自動機可以描述並操弄文字時，便進入了自動機可以幫助人們推理的時代，這也促成了現代電腦的發明。從證明的追尋，我們發現文字的奧妙之處，作者我在字數限制下也有意猶未盡之感，但希望仍能給妳對證明有一個新的洞見。
留言